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高木の数学! 2019!

[ 2019年01月07日 ] [ 高槻 宮之川原教室 ]


新年、あけましておめでとうございます。
宮之川原教室の高木です。今年一年も、よろしくお願いいたします。

さて、平成最後の年、2019。
今日はこの数字に注目してみましょう。

本日の高木の数学は、「打倒punch!2019」です!

 

2019を倒す、とは・・・?

「問題文に2019、という数字が入りそうな問題パターンを
攻略して行こうnote」といったものです。

数学、というよりは、中学入試の算数の問題に近いところがあると思います。
高校でも、私立高校の入試に出るかもしれませんよ。eye


まずは第一問。

「ヘ、イ、セ、イ、ラ、ス、トの7文字がこの順番で、何度も繰り返しながら並んでいる。
 「2019」番目の文字は何か。」

ヘイセイラストヘイセイラストヘ・・・ といったぐあいで、
7種類の文字が並んでいる問題。

ここでは、同じ文字の出てくる順番に注目しましょう。

ヘ 1番、8番、15番、・・・
イ 2番、9番、・・・
セ 3番、10番、・・・
イ 4番、11番、・・・
ラ 5番、12番、・・・
ス 6番、13番、・・・
ト 7番、14番、・・・

ここで気付いてほしいことは2種類。

ひとつめ:「ト」の番号が7の倍数(7の段)になっていること
ふたつめ:「ト」以外も7きざみで変化していること

このことから、それぞれの文字の番号は、
「7で割った余り」がいつも同じになる、ということが読み取れます。
「ヘ」は余り1、「イ」は余り2、のようなぐあいですね。

では、肝心の2019はどうなるのでしょうか。

2019÷7=288あまり3、となるため、
余りが3の文字、つまり「セ」だとわかります。

もちろん、この解き方は文字数や数字が変わっても使えます。
ぜひマスターしておきましょう!

 


続いて第2問。

「「2019」の約数のうち、奇数はいくつ存在するか。」

約数を数える時は、1と2019、3と673、のように、組み合わせで考えていくのが一般的です。
しかし、数字が大きくなると、約数の数も増えますし、数えもれが発生しやすくなります。

そこで、「素因数分解」の考え方を使います。
素因数分解とは、数字を「素数(1とその数自身しか約数のない数。2、3、5、7など)」の
積の形に分解することです。

たとえば、24を素因数分解すると、2×2×2×3、となります。

2019の場合はどうでしょう。

2019=3×673
    =・・・

これで、素因数分解は終わりです。(673は素数のようです)

ということで、2019の約数のうち、奇数は
1、3、673、2019。の4つであるといえます。

ただ、こんなに早く素因数分解が終わる問題は出ないでしょうね。sleepy

 

ちなみに、もっと素因数分解が続いたらどうなるのか。

216を例にとってやってみましょう。

まず、
216=2×2×2×3×3×3
となります。

ここで、約数のうち、「奇数」であることに注目しましょう。
かけ算をするとき、一度でも偶数をかけると、偶数になります
奇数にしたいときは、すべて奇数をかけないといけません。

ということは、216の約数のうち、奇数なのは、

1     1
3     3
3×3  =9
3×3×3=27

の4つだということがわかりました。

素因数分解に出てくる奇数の種類や数にもよりますが、
「奇数のかけ算が、何通りできるか」を考えましょう。

 


最後です!第3問!

「0から4までの5枚のカードのうち、4枚を並べて4ケタの整数を作る。
できた整数が「2019」以下になるのは何通りあるか。」

組み合わせ、並べ方の問題ですね。
樹形図を使って考えてみましょう。

千の位 百の位 十の位 一の位

 1 ― 0 ― 2 ― 3
           \ 4
       \ 3 ― 2
           \ 4
       \ 4 ― 2
           \ 3
   \ 2 ― 0 ― 3
           \ 4
       \ 3 ― 0
           \ 4
       \ 4 ― 0
           \ 3
   \ 3 ― 0 ― 2
           \ 4
       \ 2 ― 0
           \ 4
       \ 4 ― 0
           \ 2
   \ 4 ― 0 ― 2
           \ 3
       \ 2 ― 0
           \ 3
       \ 3 ― 0
           \ 2

千の位を1にすると、以上の24通りになります。
千の位を2にしてみると、どうでしょうか。

千の位 百の位 十の位 一の位

 2 ― 0 ― 1 ― 3
           \ 4
       \ 3 ― 1 ×
           \ 4 ×
       \ 4 ― 1 ×
           \ 3 ×

2019より大きな数になってはいけないので、
千の位を2にすると、2013、2014の2通りしかないことがわかりました。

ということで、合わせて26通り。これが答えになります。

組み合わせや並べ方の問題の基本は、並べてみること。
数え忘れのないように、樹形図を使っています。

もちろん、数字が大きくなれば計算で求めることも出てきますが、
慣れないうちは、しっかり数えてきっちり得点をもらいましょう!

 


2019年は、どんな一年になるのでしょうね。typhoon
社会の動きを変えるのは難しいdespairでしょうけど、
自分の「こんな一年にしたい」という心heartは、

行動によって周りを変えることもできるはずです。up

 

本年も、宮之川原教室をよろしくお願いします。